Bounded Solutions of Second Order Semilinear Evolution Equations and Applications to the Telegraph Equation

Motivated by the problem of the existence of a solution of the nonlinear telegraph equation wt + clll u,, + h(t. c, u) = 0, such that u(t, ,) satisfies suitable boundary conditions over (0,~) ar;d Ilu(t,.)II is bounded over W for some function space norm 11 11: we prove the existence of bounded solutions over R of semilinear evolution equations in a Hilbert space of the form ii + cti + Au + g(t, u) = 0. where c > 0. A : D(A) c H --) H is self-adjoint, semi-positive definite, has compact resolvant and g : W x H --* H, bounded and sufficiently regular satisfies some Landesman-Lazer type condition. 0 Elsevier, Paris RBsuMB. Motivts par le probl&me de l’existence d’une solution de l’tquation des t&graphistes non 1inCaire telle que ~(t, .) satisfasse des conditions aux limites convenables sur (0. T) et Il~(t, .)/I soit bomee sur R pour une certaine norme d’espace fonctionnel II./I, nous prouvons l’existence de solutions bomCes sur R pour des tquations d’tvolution semi-lineaires dans un espace de Hilbert de la forme ii + c’iL + Au + g(t, u) = o, oh c > 0, A : D(A) c H + H est auto-adjoint, semi-dCfini positif, & Aolvante compacte, et g : W x H + H, bornee et suffisamment r6guli&re, vtrifie une condition du type de Landesman-Lazer. 0 Elsevier, Paris